دانلود مطلب زیر به صورت پی دی اف :دانلود
هندسه اقلیدسی یا همان هندسه ای که درسطح دبیرستان گنجانده شده و اندکی از آن هم در درجه های بالای دانشگاهی تدریس میشود .دارای پنج آکسیوم است:
1-اشیای مساوی با یک چیز بایکدیگر مساوی اند.
2-چون مساوی ها به مساوی ها افزوده شوند مجموع ها مساوی می شوند.
3- چون مساوی ها. از مساوی ها کم شوند باقیمانده ها مساوی می شوند.
4-اشیای منطبق بر یکدیگر با هم مساوی اند.
5-کل بزرگتر از جز است.
این آکسیوم ها به طور احتمالی همان قراردادهای زبانی هستند.
این هندسه ی وسیع دارای اصول موضوع زیر است.
1-از هر نقطه می توان خطی مساوی هر نقطه کشید.
2-خطی متناهی و راست می تواند در اصل به خط راست امتداد داده شود.
3-می توان دایره ای به مرکز هر نقطه و به شعاع هر نقطه رسم کرد.
4-تمام زاویه های 90 درجه برابرند.
5-اگر قاطعی بر دو خط چنان افتد که که زاویه های داخلی واقع بر یک طرف آن قاطع کمتر از دو زاویه ی 90 درجه شوند در این صورت در طرفی از دو خط که مجموع زاویه های تشکیل شده کمتراز دو زاویه ی 90 درجه است با هم برخورد می کنند.
طی سالهای زیادی ریاضیدانان پایه گذار زیادی به گنگی های زیادی در مورد فرض شده های اقلیدس اشاره کردند.در واقع اقلیدس فرض های به بیان نیامده را هم حتی در حل مسایل به کار برده است . برخی از این خطا های منطقی این گونه اند:
1-لزوم گزاره ی مشخصی در مورد پیوستگی خطوط و دایره ها.
2-لزوم گزاره ی مشخصی در مورد امتداد نامتناهی خط.
3-گزاره ای که بیان کند:هر گاه خطی راست از راس یک مثلث داخل آن شود باید ضلع مقابل آن راس را قطع کند.
4-لزوم گزاره ای در مورد ترتیب نقطه های واقع بر خط.
5-لازم بودن گزاره ای در مورد مفهوم در میان بودن.
6-لازم بودن گزاره ای در مورد یکتایی خط گذرنده از دو نقطه.
7-لازم بودن تقرب منطقی بیشتری چون تقرب تبدیلات که وابسته به مفهوم انطباق نیست.اقلیدس بر این نظر بود که می توان مثلثی برداشت و در حالی که تمام ویژگی هایش بدون تغییر مانده در محلی دیگر قرار داد و با این همه گزاره ی آشکاری در مورد این تغییر نداده بود.
8- لزوم فهرستی از عبارت های تعریف نشده.
به دلیل این گنگیهای موجود در آکسیوم های اقلیدس ریاضیدانان بسیاری تلاششان در بهبود این مفهوم های گنگ بوده است مجموعه آکسیوم های جدید بسیار از آکسیوم های خود اقلیدس پیچیده تر به نظر می رسند.
یکی از مشهور ترین مجموعه آکسیوم های جدید توسط موریتس پاش در 1882 مطرح شد. بیشتر شهرت این مرد به خاطر آکسیوم معروفش که بر این مبنا بود:خطی که از راس مثلثی داخل مثلث می شود آن را قطع می کند. بوده است.
در سال 1889 جسیپی پیانو تقرب تازه ی دیگری به دست داد.اما مشهورترین مجموعه آکسیوم های هندسه ی اقلیدسی توسط دیوید هیلبرت در سال 1902 نشر یافته است.
در این مورد هیلبرت از شش عبارت تعریف نشده ی خط – نقطه- صفحه- بین – همنهشت – بر سود برده است و آکسیوم هایش را در پنج گروه دسته بندی کرده است که این آکسیوم ها برای بهبود مشکلات اقلیدس کمک کننده است. برای نمونه سه آکسیوم اول هیلبرت به اصل موضوع اقلیدس در مورد رسم خطی مستقیم از یک نقطه به نقطه ی دیگر می پردازد و آکسیوم های همنهشتیش نقص عمده ی انطباق را بهبود می بخشد.
از زمان هیلبرت به بعد اصول موضوع های دیگری در مورد هندسه ی اقلیدسی به میان آمده اند . که بعضی از آن ها توسط اسوالد وبلن (1904 و 1911) ای.وی هانگتینگتن (1913) هنری فوردر (1927) جی.دی برکهوف (1932) وچند تن دیگر ایجاد شده اند.
آکسیوم های هیلبرت:
گروه 1 . آکسیوم های وصل
1-دو نقطه ی متمایز A, B همواره و به طور کامل خط مستقیم a ای را مشخص می کنند در این صورت می نویسیم AB=a یا BA=a
2- دو نقطه ی متمایز از یک خط راست آن خط را به طور کامل نشان می دهند. به عبارتی دیگر اگرAB=a و AC=a آنگاه BC=a می شود.
3-سه نقطه ی A,B,C غیر واقع بر یک خط مستقیم به شکل کامل و همواره صفحه ی a ای را مشخص می کنند ودر این صورت می نویسیم: ABC=a
4-هر سه نقطه ی A,B,C در صفحه ی a که بر یک خط قرار ندارند آن صفحه را به طور کامل نشان می دهند.(فرق 3 و 4 در چیست؟)
5- اگر دو نقطه ی A,B از خط راست a بر صفحه ی a' واقع شوند آ نگاه هر نقطه ی خط a در صفحه ی a'
قرار دارد.
6- اگر دو صفحه m ,n در نقطه A مشترک باشند آنگاه دستکم در نقطه ی دوم Bای اشتراک دارند.
7- بر هر خط راست دستکم دو نقطه قرار دارد و در صفحه دستکم سه نقطه ی غیر هم خط و در فضا دستکم چهار نقطه که بر یک صفحه قرار ندارند وجود دارد.
آکسیوم های ترتیب:
1-اگر A,B,C نقطه هایی از یک خط راست باشند وB بین C,A باشد آنگاه B بین A,C نیز قرار دارد.
2-اگر A,C نقطه هایی از یک خط راست باشند آنگاه نقطه ای مانند B و نقطه ای مانند D چنان گزیده شده کهB بین A,C و C بین A,D قرار دارد.(برای درک بهتر شکل رسم کنید.)
3-از هر سه نقطه ی هم خط همواره یکی و تنها یکی موجود است که بین دو نقطه ی دیگر قرار می گیرد.
4- هر چهر نقطه ی A,B,C,D روی یک خط راست همواره چنان می توانند مرتب شوند که B بین C,A و نیز بین D,A قرار گیرد و از این گذشته C بین D,A و بین D,B واقع شود.
5- فزض می کنیم A,B,C سه نقطه ی نا هم خط باشند و می پنداریم که a خط راست واقع بر صفحه ی ABC و ناگذر از هیچ یک از نقطه های A,B,C باشد. اگر خط راست a از پاره خط AB بگذرد آنگاه از نقطه ای از پاره خط BC و یا نقطه ای از پاره خط AC خواهد گذشت.
آکسیوم های موازی:
1-در صفحه ی m می توان از هر نقطه ی A ی بیرون از خط راست a یک و تنها یک خط راست که خط راست a را قطع نکند رسم کرد. این خط راست به موازی a از نقطه ی گمان شده ی A شناخته شده است.
آکسیوم های هم نهشتی:
1- اگر A,B واقع بر خط راست a ای باشند و اگر A' نقطه ای بر همین خط یا بر خط راست دیگر a' باشد در این صورت بر طرف گمان شده ای از A' بر خط راست a' همواره می توان یک وتنها یک نقطه ی B' رسم کرد که پاره خط AB یا BA همنهشت با پاره خط A'B' باشد این رابطه را با نوشتن AB≡A'B' نشان می دهیم هر پاره خطی باخودش همنهشت است یعنی همواره داریم: AB≡AB
2- اگر پاره خط AB با A'B' و A'B' نیز با A"B" همنهشت باشد در این صورت پاره خط AB با A"B" نیز همنهشت است یعنی اگر AB≡A'B" و A'B'≡A"B" آنگاه داریم : AB≡A"B" .
3- می پنداریم که AB وBC دو پاره خط از خط راست a که نقطه ی مشترکی جز نقطه ی B ندارند باشند و از این گذشته می پنداریم که A'B' و B'C' دو پاره خط از همین خط یا خط راست دیگری مانند a' که به همین ترتیب نقطه ی مشتر دیگری جز B' ندارند باشند. در این صورت اگر AB≡A'B' و BC≡B'C' آنگاه داریم AC≡A'C' .
4- می پنداریم که زاویه ی (h,k )ای در صفحه ی m قرار داشته باشد و می پنداریم که خط راست a' ای در صفحه ی m' وجود داشته باشد. و نیز می انگاریم که در صفحه ی m' طرف مشخصی از خط a' معین باشد. نیم شعاع خط راست a' بیرون آمده از نقطه ی O' واقع بر این خط را با h' نمایش می دهیم. در این صورت در صفحه ی m' یک وتنها یک نیم شعاع k' چنان موجود است که زاویه ی (h,k ) یا (k,h ) با زاویه ی (h',k' ) همنهشت باشد و در این صورت همه ی نقطه های داخل زاویه ی (h',k' ) بر طرف فرض شده ی a' قرار دارند.این نسبت را با علامت (h,k)≡∟ (h',k')∟ بیان می کنیم هر زاویه با خودش همنهشت است یعنی: ∟(h,k)≡∟(h,k) و ∟(h,k)≡∟(k,h)
5- اگر زاویه ی (h,k) با زاویه ی (h',k') و نیز همچنین با زاویه ی (h",K") همنهشت باشد آنگاه زاویه ی (h',k') نیز با زاویه ی (h",k") همنهشت است. به عبارتی دیگر: اگر ∟(h,k)≡∟(h',k') و ∟(h,k)≡∟(h",k") آنگاه داریم∟(h',k')≡∟(h",k") .
6- اگر در دو مثلث ABC و A'B'C' همنهشتی های AB≡A'B' و AC≡A'C' و ∟BAC≡∟B'A'C' برقرار باشد آنگاه همنهشتی های ∟ABC≡∟A'B'C' و ∟ACB≡∟A'B'C' نیز برقرار است.
آکسیوم پیوستگی:
1- می پنداریم A1 نقطه ای بر خط راستی بین نقطه های به دلخواه انتخاب شده ی A,B باشد.نقطه های A2,A3,A4,… را چنان در نظر می گیریم که A1 بین A و A2 – A2 بین A1,A3 – A3 بین A2,A4 و ... باشد از این گذشته می پنداریم که پاره خط های AA1,A1A2,A2A3,A3A4,… مساوی یکدیگر باشند. در این صورت میان این سری نقطه ها همواره نقطه ی معین An ی چنان وجود دارد که B بین A و An قرار گیرد.
اصول موضوع برکهوف
1- اصل موضوع مقیاس خطی : نقطه های A,B,… از هر خط a ای را می توان در تناظر (1.1) با اعداد حقیقی x به طوری که به ازای همه ی نقطه های A,B داشته باشیم |x(B)-x(A)|=d(A,B) قرار داد.
2- اصل موضوع نقطه- خط : یک و تنها یک خط راستa دربردارنده ی دو نقطه ی پنداشته شده ی A,B (A≠B) است.
3- اصل موضوع مقیاس زاویه ای : نیم خط های a,a'… از هر نقطه ی O ای را در تناظر (1,1) با اعداد حقیقی p(mod 2π) چنان قرار داد که اگر A≠O و B≠O نقطه هایی به ترتیب بر a,a' باشند و ∟AOB تفاضل p(a')-p(a)(mod 2π) باشد از این گذشته اگر نقطه ی B بر a' در خط r نا شامل راس O به طور پیوسته تغییر کند عدد p(a') نیز به طور پیوسته تغییر می کند.
4- اصل موضوع تشابه : اگر در دو مثلث ABC و A'B'C' و به ازای ثابت k ای مثبت d(A',C')=kd(A,C) , d(A',B')=kd(A,B) و نیز ∟B'A'C'=±∟BAC آنگاه d(B',C')=kd(B,C) و ∟C'B'A'=±∟CBA و ∟A'C'B'=±∟ACB .
